学习文档 暂存 概率论部分 概率论部分 这个积分是计算标准正态分布的二阶矩（即方差，因为均值为 0），结果为 1。这个积分可以通过以下步骤推导： 积分公式： EX2=∫−∞+∞x2⋅12πe−x22dx EX^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx EX2=∫−∞+∞x2⋅2π1e−2x2dx推导过程： 利用对称性：由于被积函数 x2⋅12πe−x22x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}x2⋅2π1e−2x2 是偶函数，可以将积分简化为： EX2=2∫0+∞x2⋅12πe−x22dx EX^2 = 2 \int_{0}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx EX2=2∫0+∞x2⋅2π1e−2x2dx 变量替换：令 u=x22u = \frac{x^2}{2}u=2x2，则 x=2ux = \sqrt{2u}x=2u，dx=12ududx = \frac{1}{\sqrt{2u}} dudx=2u1du。 代入并化简： EX2=2⋅12π∫0+∞(2u)2⋅e−u⋅12udu EX^2 = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} (\sqrt{2u})^2 \cdot e^{-u} \cdot \frac{1}{\sqrt{2u}} du EX2=2⋅2π1∫0+∞(2u)2⋅e−u⋅2u1du=2⋅12π∫0+∞2u⋅e−u⋅12udu = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} 2u \cdot e^{-u} \cdot \frac{1}{\sqrt{2u}} du =2⋅2π1∫0+∞2u⋅e−u⋅2u1du=2⋅12π⋅2∫0+∞u⋅e−udu = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2} \int_{0}^{+\infty} \sqrt{u} \cdot e^{-u} du =2⋅2π1⋅2∫0+∞u⋅e−udu 伽马函数：∫0+∞uke−udu=Γ(k+1)\int_{0}^{+\infty} u^{k} e^{-u} du = \Gamma(k+1)∫0+∞uke−udu=Γ(k+1)，其中 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!Γ(n)=(n−1)! 对于整数 nnn。 这里 k=12k = \frac{1}{2}k=21，所以： ∫0+∞u⋅e−udu=Γ(32) \int_{0}^{+\infty} \sqrt{u} \cdot e^{-u} du = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) ∫0+∞u⋅e−udu=Γ(23) 计算伽马函数： Γ(32)=12π \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} Γ(23)=21π 最终结果： EX2=2⋅12π⋅2⋅12π=1 EX^2 = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = 1 EX2=2⋅2π1⋅2⋅21π=1因此，积分的结果是 111。