复频域分析

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复频域分析

Laplace 变换

s 具有时间的倒量纲，称为复频率

Laplace逆变换

f(\:t\:)=\mathscr{L}^{-1}\:\{\:F(\:s\:)\:\}\:=\frac{1}{2\:\pi\mathrm{j}}\int_{\sigma\:-\mathrm{j}\infty}^{\sigma\:+\mathrm{j}\infty}F(\:s\:)\:\mathrm{e}^{st}\:\mathrm{d}s

根据拉普拉斯变换的定义可知,电流、电压象函数的单位分别为安秒(A・s)即库仑和伏秒(V・s)即韦伯

u_{_R}=Ri_{_R} \tag{a}

U_{_R}(\:s\:)=RI_{_R}(\:s\:)\tag{b}

i_C=C\:\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\tag{a}

I_C(\:s\:)=sCU_C(\:s\:)-Cu_C(\:0_-\:)\tag{c}

U_c(\:s\:)=\frac{1}{sC}I_c(\:s\:)+\frac{u_C(\:0_-\:)}{s}\tag{b}

运算容抗： $1/sC$ ，具有电阻的量纲

u_L=L\:\frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}\tag{a}

U_{L}(\:s\:)=sLI_{L}(\:s\:)-Li_{L}(\:0_{-})

运算感抗： $sL$ ，具有电阻的量纲

\begin{cases}u_1=L_1\dfrac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}+M\dfrac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}\\\\u_2=M\dfrac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}+L_2\dfrac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}\end{cases}\tag{a}

\begin{cases}U_{1}(s)=sL_{1}I_{1}(s)+sMI_{2}(s)-L_{1}i_{1}(0_{-})-Mi_{2}(0_{-})\\\\U_{2}(s)=sMI_{1}(s)+sL_{2}I_{2}(s)-Mi_{1}(0_{-})-L_{2}i_{2}(0_{-})\end{cases}\tag{b}

\begin{cases}U'_1(\:s\:)=L_1\:i_1(\:0_-\:)+Mi_2(\:0_-\:)\\[2ex]U'_2(\:s\:)=Mi_1(\:0_-\:)+L_2i_2(\:0_-\:)\end{cases}\tag{b}

通常使用串联模型，电容的电压源提供能量，方向为+，电感的电压源吸收能量，方向为-，

将电路中所有元件均用其复频域模型表示,所得电路模型称为原电路的复频域电路模型或运算电路(operational circuit)。

\frac{U_\mathrm{s}(s)}{I(s)}=Z(s)\tag{运算阻抗}

\frac{1}{Z\left(\:s\:\right)}=\frac{I\left(\:s\:\right)}{U_{\mathrm{s}}\left(\:s\:\right)}=Y(\:s\:)\tag{运算导纳}