1 事件与概率

目的：

1. 掌握随机事件的概念和相关运算。
2. 了解概率的不同定义，掌握古典概型的基本计算。
3. 掌握条件概率的概念，熟练运用全概率公式和 Bayes 公式。
4. 掌握事件独立的概念和有关运算。

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1. 随机事件概念和运算

• 随机试验：在相同条件下重复进行的试验，结果具有不确定性。
• 随机事件：由若干基本事件组成的集合，如 {点数为 1}、{出现两次} 等。
• 样本空间（$\Omega$）：所有可能的基本事件的集合。
• 示例：$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$（掷骰子）或 $\Omega = \{x | 0 \leq x < T\}$（时间区间）。
• 必然事件：一定发生的事件，即 $\Omega$。
• 不可能事件：一定不发生的事件，即 $\varnothing$。

事件的运算

• 子事件：$A \subset B$，表示 $A$ 发生时 $B$ 一定发生。
• 事件的和（或门）：$A \cup B$ 或 $A + B$，表示至少一个事件发生。
• 事件的积（与门）：$A \cap B$ 或 $AB$，表示两个事件同时发生。
• 对立事件（非门）：$A^c$ 或 $\bar{A}$，表示 $A$ 不发生。
• 事件的差：$A - B = AB^c$，表示 $A$ 发生但 $B$ 不发生。

De Morgan 对偶法则

$$\begin{aligned} \overline{A \cup B} &= \bar{A} \cap \bar{B} \\ \overline{A \cap B} &= \bar{A} \cup \bar{B} \end{aligned}$$

对于 $n$ 个事件：

$$\begin{aligned} \overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} &= \bigcap_{i=1}^n \bar{A}_i \\ \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i} &= \bigcup_{i=1}^n \bar{A}_i \end{aligned}$$

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2. 概率定义

• 概率：事件发生的可能性，范围在 0 到 1 之间。
• 古典概型：
• 有限性：只有有限个结果。
• 等可能性：每个基本事件发生的概率相同。
• 公式：若 $A$ 包含 $m$ 个基本事件，则

$$P(A)=\frac mn = \frac{\#(A)}{\#(\Omega)}$$

其中 $n$ 是样本空间的大小。

互斥事件

互斥事件（Mutually Exclusive Events）是指在一次试验中，两个或多个事件不能同时发生的事件。换句话说，如果事件 $A$ 和事件 $B$ 是互斥的，那么它们的交集为空，即：

$$A \cap B = \emptyset$$

数学定义：

事件 $A$ 和 $B$ 互斥，当且仅当：

$$P(A \cap B) = 0$$

举例说明：

• 抛一枚硬币，事件 $A$：正面朝上；事件 $B$：反面朝上。这两个事件是互斥的，因为不可能同时发生。
• 掷一个骰子，事件 $A$：出现 1 点；事件 $B$：出现 2 点。这两个事件也是互斥的。

注意：

互斥事件之间不能同时发生，但不一定覆盖整个样本空间。如果两个互斥事件的并集是整个样本空间，则它们称为对立事件（Complementary Events）。

概率加法公式

• 若 $A$ 与 $B$ 不相容（互斥），则：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$$$P(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i)=\sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i)$$

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3. 概率计算公式

条件概率

$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$

• 表示在 $B$ 发生的前提下，$A$ 发生的概率。

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\Rightarrow P(AB)=P(A|B)P(B)$$$$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1})$$

全概率公式

设 $B_1, B_2, \dots, B_n$ 是样本空间的一个分割（即 $\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega$ 且 $B_i$ 两两互斥），则：

$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$$

Bayes 公式

$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^n P(A|B_j)P(B_j)}$$

• 用于从结果反推原因的概率。

独立性

• 若 $P(AB) = P(A)P(B)$，则称事件 $A$ 和 $B$ 相互独立。
• 更直观的定义是 $P(A|B) = P(A)$，即 $B$ 的发生不影响 $A$ 的概率。

推广

$\text{设}A_1,A_2,\cdots A_n\text{是随机试验中的}n\text{个事件,以}\tilde{A}_i\text{ 表示}A_i\text{或}\bar{A}_i\text{之一}$，即下式可以有 $2^n$ 个等式

$$P(\tilde{A}_1\tilde{A}_2\cdots\tilde{A}_n)=P(\tilde{A}_1)P(\tilde{A}_2)\cdots P(\tilde{A}_n)$$

或者，对 $A_1,A_2,\cdots A_n$ 中的任意 k 个事件 $A_{i_{1}},A_{i_{2}},\cdots,A_{i_{k}},\:k=2,\cdots n$

$$P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})$$

称事件列 $A_{1},A_{2},\cdots A_{n}$ 相互独立

• 独立和不相容的区别

4. 解题

概率论第一章题目

重点：

1. 容斥原理（Venn 图）
2. 高中排列组合问题
3. 条件概率
4. 全概率
5. Bayes 公式

5. 附件

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