杂

线性组合

$$\beta=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_s\alpha_s$$

$\beta$ 是后者的线性组合（线性表示）

0 向量是任何向量的线性组合

线性相关&线性无关

$$\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_s\alpha_s=0$$

$\lambda$ 全为 0，线性无关，不全为 0 线性相关

若：

$$\begin{aligned}\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_s\alpha_s=\mu_1\alpha_1+\cdots+\mu_s\alpha_s\Rightarrow\lambda_i=\mu_i,\forall1\leqslant i\leqslant s\end{aligned} \tag{1}$$

则线性无关

若：

$$\exists1\leqslant i\leqslant s,\textbf{s.t. }\alpha_i\text{ 是 }\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\:\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_s\text{ 的线性组合}$$

则线性相关 (s≥2)

齐次方程

$$(**)\begin{cases}&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\&a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\\&\cdots\:\cdots\:\cdots\:\cdots\:\cdots\:\cdots\:\cdots\:\cdots\\&a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0.\end{cases}$$

若有非零解，则列向量α线性相关

若仅零解，线性无关

非齐次方程

若多解，常向量β可由列向量α线性表示，α线性相关

若单解，可线性表示，α线性无关（参考 (1)）