PID控制器

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PID控制器

\begin{aligned}G_c(s)&=K_P+\frac{K_I}s+K_Ds=\frac{K_I\left(\frac{K_D}{K_I}s^2+\frac{K_P}{K_I}s+1\right)}{s}\\&=\frac{K_I\left(\tau s+1\right)\left(\frac\tau\alpha s+1\right)}{s}\end{aligned}

可调参数可选 $K_P, K_I, K_D,$ 或者 $K_I,\tau,\alpha$

$K_P,K_I, K_D$ 分别为比例、积分、微分控制参数

ZN 整定

可获得良好的干扰抑制，但未必获得良好的设定值响应性能

闭环控制下，令 $K_I{=}0,\quad K_D{=}0$ ，将 $K_P$ 从小开始往上调，直到在阶跃输入下达到临界稳定，产生幅值和周期不变的持续震荡，记录比例增益 $K_U$ 为临界增益， $T_U$ 为临界振荡周期

按以下整定规则配制

控制器类型	$K_P$	$K_I$	$K_D$
比例控制 P	$0.5K_{U}$	-	-
比例积分控制 PI	$0.45K_{U}$	$\dfrac{0.54K_{U}}{T_{U}}$	-
比例微分控制 PD	$0.8K_{U}$	-	$0.1K_{U}T_{U}$
比例积分微分控制 PID	$0.6K_{U}$	$\dfrac{1.2K_{U}}{T_{U}}$	$0.6\dfrac{K_{U}T_{U}}{8}$

与控制器的公式相像，比例是乘常数，积分是两者除，微分是两者乘

控制器类型	$K_P$	$K_I$	$K_D$
比例控制P	$\dfrac{1}{R\Delta T}$	-	-
比例积分控制PI	$\dfrac{0.9}{R\Delta T}$	$\dfrac{0.27}{R\Delta T^2}$	-
比例积分微分控制PID	$\dfrac{1.2}{R\Delta T}$	$\dfrac{0.6}{R\Delta T^2}$	$\dfrac{0.6}{R}$

使用条件，输出信号如下图所示： $R$ 为斜率， $\Delta T$ 是纯滞后时间

近似模型

G\big(s\big)=M\bigg[\frac{p}{s+p}\bigg]e^{-\Delta Ts}

被控对象	$K_P$	$K_I$	$K_D$
$\dfrac{K}{Ts+1} e^{-\tau s}$	$\dfrac{T}{K(\lambda+\tau)}$	$\dfrac{1}{K(\lambda+\tau)}$	-
$\dfrac{K}{s} e^{-\tau s}$	$\dfrac{1}{K(\lambda+\tau)}$	-	-
$\dfrac{K}{s(Ts+1)} e^{-\tau s}$	$\dfrac{1}{K(\lambda+\tau)}$	-	$\dfrac{T}{K(\lambda+\tau)}$

根据闭环系统过渡过程时间 $T_s$ 的要求，选择λ，满足

T_s{=}\tau{+}4\lambda

期望传递函数具有以下形式

T\left(s\right)=\frac{1}{\lambda s+1}e^{-\tau s}

λ为设定的期望闭环系统时间常数，τ为纯滞后

考虑闭环系统传递函数：

T\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{G_{c}\left(s\right)G\left(s\right)}{1+G_{c}\left(s\right)G\left(s\right)}=\frac{1}{\lambda s+1}e^{-\tau s}

简单变换后得到：

G_c\left(s\right)=\frac1{G\left(s\right)}\frac{T\left(s\right)}{1-T\left(s\right)}=\frac1{G\left(s\right)}\frac{e^{-\tau s}}{\lambda s+1-e^{-\tau s}}

再对 $G_c (s)$ 进行运算（需要用到泰勒展开近似，此处不展开）

据我们老师所说，每个人用的都不一样，且结论大多为经验总结，只可做参考，不能当作一般性结论

参数调整	百分比超调量	调整时间	稳态误差
增大 $K_P$	增大	影响很小	减小
增大 $K_I$	增大	增大	稳态误差为 0
增大 $K_D$	减小	减小	没有影响